03. August 2020 – Oliver Rheinbach

Wer stirbt in Deutschland an Corona?

Die besprochenen S(E)IR-Modelle unterscheiden nicht zwischen geheilten und verstorbenen Infizierten. Die Anzahl der Verstorbenen wird erst im Nachhinein als Anteil der Personen im Status “R” berechnet. Doch welchen Zahlenwert soll man als Anteil nehmen? Wenn man die Hospitalisierungsrate von SARS-CoV-2-Infektionen kennt, hilft die folgende Studie weiter.

Eine neue Studie in Lancet Resp Med  hat nun für Deutschland für den Zeitraum vom 26.02.2020 bis 19.04.2020 die Daten von 10021 erwachsenen Covid-19-Krankenhauspatienten genauer angeschaut.

Von den 10021 Covid-19-Patienten, die in Krankenhaus kamen, mussten 17% beatmet werden, darunter deutlich mehr Männer als Frauen. Interessanterweise waren davon grob ein Viertel 18 bis 59 Jahre alt, ein weiteres Viertel 60 bis 69 Jahre, ein weiteres 70 bis 79 Jahre und das letzte Viertel über 80. Genauer:

“Of 10 021 hospitalised patients being treated in 920 different hospitals, 1727 (17%) received mechanical ventilation (of whom 422 [24%] were aged 18–59 years, 382 [22%] were aged 60–69 years, 535 [31%] were aged 70–79 years, and 388 [23%] were aged ≥80 years).”

Insgesamt starben 2229 der 10021 Patienten. Wer erst einmal beatmet wurde, hatte eine Überlebenschance von 47 Prozent.

Verschiedene Medien, darunter Scinexx, haben die Studie zusammengefasst.

Langzeitfolgen spielten in der Untersuchung keine Rolle.

Langzeitfolgen einer Covid-19-Erkrankung werden (naturgemäß) erst nach und nach sichtbar und wissenschaftlich untersucht, NTV zitiert den Studienleiter Stefan Schreiber mit den Worten: “Ein 30-Jähriger könnte nach zehn Jahren die Organe eines 60-Jährigen haben, fürchtet er – auch bei leichten Verläufen”. Auch an anderer Stelle wurde über bleibende Schäden (am Herzen), auch bei leichten Verläufen, berichtet.

Eine gute Nachricht dagegen: Eine Studie in Lancet weist auf eine deutliche Schutzwirkung sogar von einfachen OP-Masken hin (wovon man in Asien allerdings schon lange überzeugt ist, auch aus der Erfahrung mit SARS-1):

The use of face masks was protective for both health-care workers and people in the community exposed to infection.

Gemeint sind hier auch einfache OP-Masken (“surgical masks”), die nicht den Standards FFP2 (Europa), N95 (USA), oder KN95 (China) (“respirators”, “personal protective equipment – PPE”) entsprechen. Allerdings schützen N95-Masken (analog FFP2 oder KN95) besser:

[…] masks in general are associated with a large reduction in risk of infection from SARS-CoV-2, SARS-CoV, and MERS-CoV but also that N95 or similar respirators might be associated with a larger degree of protection from viral infection than disposable medical masks or reusable multilayer (12–16-layer) cotton masks.

Siehe auch die Pressemitteilung und eine Zusammenfassung von NTV.

Bemerkung: Die Schutzwirkung von OP-Masken (und auch von FFP2/N95/KN95-Masken) basiert auf einem Filtervlies, das den Luftstrom einerseits gut durchlässt, andererseits nur sehr feine Löcher hat. Dagegen kann man bei (gewebten oder gestrickten) Baumwoll-Behelfsmasken meist kleine Löcher sehen, wenn man sie gegen das Licht hält. Natürlich kann man nun viele Lagen Baumwollstoff übereinander legen, aber dann wird der Atemwiderstand größer, so dass die Gefahr besteht, dass viel Luft um die Maske herum geht, statt hindurch. Interessant ist in diesem Zusammenhang, dass im obigen Artikel  “multilayer (12–16-layer) cotton masks” als Ersatz für OP-Masken genannt werden.

Die Schutzwirklung von FFP2-Masken basiert wesentlich auf ihrer Passform: Es geht nur wenig Luft um die Maske herum, genauer gesagt, darf die Gesamtleckage (Undichtigkeit) nur 8% betragen. Dazu muss die Maske allerdings auch gut passen.

Fazit: Wer sicher gehen will, weil er oder sie sich zu einer Risikogruppe zählt, sollte weiterhin auf FFP2- oder KN95-Masken zurückgreifen. Masken nach dem amerikanischen N95-Standard sind in Deutschland aktuell kaum zu bekommen.

Die Studie gibt nun aber erstmals wissenschaftliche Hinweise, dass man sich auch durch eine OP-Maske schützen kann – auch wenn die Schutzwirkung geringer ist.

Vielleicht hat also auch eine Baumwoll-Behelfsmaske eine Schutzwirkung. Sicher ist: Eine Brille, zusätzlich zur Maske, hilft zusätzlich.

02. August 2020 – Oliver Rheinbach

Was meint das Robert-Koch-Institut mit dem 7-Tage-R?

Seit dem 16.7.2020 ist das (gegenüber dem Standard-R etwas geglättete) 7-Tage-R (siehe auch hier) für Deutschland oberhalb von 1, hier die Werte:

16.7.20 17.7.20 18.7.20 19.7.20 20.7.20 21.7.20 22.7.20 23.7.20 24.7.20 25.7.20
1,07 1,20 1,34 1,22 1,13 1,08 1,01 1.05 1,16 1,25
26.7.20 27.7.20 28.7.20 29.7.20 30.7.20 31.7.20 1.8.20
1,16 1,10 1,12 1,13 1,17 1,19 1,20

Entsprechend steigen die täglich gemeldeten Infektionszahlen (aktuell wieder bei ca. 1000 am Tag).

Aber was meint das Robert-Koch-Institut mit dem 7-Tage-R? Und wie unterscheidet es sich vom vorher verwendeten R-Wert, den das RKI tagesaktuell gemeldet hat?

Hier erklärt das RKI, wie es seine R-Werte berechnet (leider wird das selten in den Medien erklärt): Der zu Beginn vom RKI ausgewiesene “Standard-R-Wert” ist

Rt,4=(Et-3+Et-2+Et-1+Et)/(Et-7+Et-6+Et-5+Et-4)

Es werden also einfach die Infektionszahlen von 4-Tage-Intervallen in Relation gebracht.

Das später eingeführte, etwas glattere, 7-Tage-R verwendet immer Summen der Infektionsdaten von 7 Tagen,

Rt,7=(Et-6+Et-5+Et-4+Et-3+Et-2+Et-1+Et)/(Et-8+Et-7+Et-9+Et-8+Et-7+Et-6+Et-5+Et-4) .

Dabei werden die Summen von heute und von vor 4 Tagen in Relation gebracht.

Oder: Ist E7,t=Et-6+Et-5+Et-4+Et-3+Et-2+Et-1+Et die Summe der Infektionszahlen aus 7 Tagen, dann ist

Rt,7=E7,t/E7,t-4 .

Mit diesen einfachen Formeln kann man nun für vergangene Infektionsdaten das R ausrechnen. Für die aktuellen Zahlen, die auch die Medien tagesaktuell melden, verwendet das RKI allerdings Extrapolation, um Meldeverzug zu korrigieren (Stichwort Nowcast). Relativ sicher sind die Meldezahlen erst nach etwa einer Woche, weil die Gesundheitsämter Infektionen oft erst nach Tagen an das RKI melden.

Der 7-Tage-R-Wert ist etwas glatter als das Standard-R, was Vorteile vor allem bei niedrigen Fallzahlen (wenige Hundert und weniger) hat, wo Rauschen in den Daten sichtbar wird. Für beide R-Werte gilt: Sind sie längere Zeit oberhalb von 1, liegt exponentielles Wachstums vor. Bei einem R deutlich über 1 gerät die Lage dann in kurzer Zeit außer Kontrolle.

Bemerkung: Von verschiedenen Medien wird heute gemeldet, dass die Vorsitzende des Bundesverbands der Ärztinnen und Ärzte des Öffentlichen Gesundheitsdienstes, Ute Teichert Meinung ist: “Für eine zweite Pandemie-Welle sind die Gesundheitsämter viel zu knapp besetzt”; die IT-Infrastruktur des Meldewesens scheint dazu immer noch unzureichend zu sein.

Umso wichtiger ist die Corona-Warn-App zur Kontaktverfolgung (und die freiwillige Quarantäne bei einer übermittelten Corona-Warnung). Da sie quelloffen ist, kann jeder überprüfen, was sie tut. Hier sieht man etwa, wie die App Kontakte nach der Länge in Risikostufen einordnet (0 bis 5 Minuten, 5 bis 10 Minuten, 10 bis 15 Minuten, 15 bis 20 Minuten, 20 bis 25 Minuten, 25 bis 30 Minuten und mehr als 30 Minuten; bei längeren Kontakten wird nicht mehr unterschieden).

 

18. Juli 2020 – Oliver Rheinbach

Begriff der “zweiten Welle”

Wir haben schon besprochen, dass die Reduktion von R auf der Kombination von vielen Maßnahmen beruht (Abstandhalten, Mundschutz – auch über der Nase (!), Reduktion der Anzahl von Kontakten, Lüften, schnelle klassische Nachverfolgung durch die Gesundheitsämter, freiwillige Quarantäne nach Warnung durch die Corona-App, Verbot oder Vermeidung von Großveranstaltungen, etc.). Gleichzeitig rücken in den Medien Langzeitschäden (auch bei jungen, ansonsten gesunden Menschen) einer Covid-19-Erkrankung in den Fokus, die eine Durchseuchungstrategie nicht ratsam erscheinen lassen. Darunter sind Nierenschäden, die lange unentdeckt bleiben können (Referenz wird nachgereicht).

Hier einige Berichte auf Scinexx, die Links zu Originalveröffentlichungen enthalten:

In diesem Zusammenhang wird in den Medien auch der Begriff der “zweiten Welle” (im Sinne einer Warnung) verwendet. Der Begriff hat seine Schwierigkeiten, die schon damit beginnen, dass unklar ist, wie er definiert werden soll. Auch provoziert er Nachfragen wie: “Wieviele Wellen kann es denn geben?”.

Allerdings zeigen die aktuellen Infektionsdaten aus Israel tatsächlich eine deutliche “zweite Welle” (Abbildung vom Corona-Dashbord der Johns-Hopkins-Universität):

Den Medienberichten nach scheint diese “zweite Welle” ein Ergebnis von Lockerungsmaßnahmen und zurückgehender Disziplin in der Bevölkerung zu sein.

Das sichtbare Rauschen in den Daten ist dabei eine stetige Erinnerung, dass die Daten fehlerbehaftet sind.

 

11. Juni 2020 – Oliver Rheinbach

Welche Corona-Eindämmungsmaßnahmen reduzieren R um wieviel?

Wir haben bisher hier vor allem Worst-Case-Szenarien betrachtet, also ein R zwischen 2 und 3. Das ist nicht realistisch, selbst wenn alle staatlichen Maßnahmen und Beschränkungen sofort entfallen würden. Auch dann würde sich ein Teil der Menschen weiter vorsichtiger verhalten als vor der Pandemie (durch die WHO wurde der Pandemiezustand erst am 12.3.2020 erklärt!) und Risikogruppen würden sich wohl vollständig aus der Öffentlichkeit zurückziehen (müssen).

Wir befinden uns aktuell in Deutschland in einer besonders kritischen (aber wissenschaftlich interessanten) Phase, in der von den Bundesländern bestimmte Lockerungen ausprobiert werden, in der Hoffnung, dass die Auswirkungen begrenzt bleiben werden, d.h. insbesondere, dass R kleiner 1 bleibt. Solange Ausbrüche lokal bleiben und Kontakte nachverfolgt werden können (aktuell durch die Gesundheitsämter immer noch “händisch”, also mit Telefon in der einen und Telefonliste in der anderen Hand), so die Hoffnung, kann eine zweite Phase exponentiellen Wachstums verhindert werden.

Die Politik wählt die Lockerungen dabei eher nicht auf fundierter wissenschaftlicher Basis aus, sondern eher “experimentell”, als Reaktion auf die Öffentlichkeitsarbeit von Interessengruppen: Vertreter des Handels wollen die Maskenpflicht in Geschäften loswerden, Arbeitgeber treten für die Kindergarten- und Schulöffnung ein, damit Ihre Angestellten in Ruhe arbeiten können.

Nun wäre es schön, wenn wir in unserem SIR oder SEIR-Modell das R der jeweils aktuellen Lage anpassen könnten. Dazu gab es bisher viele Vorschläge und Meinungen, aber wenig Fundiertes. Nun hat eine Gruppe von Wissenschaftlern versucht, auf Basis der Daten vieler Länder die Wirksamkeit von Corona-Eindämmungsmaßnahmen in der Retrospektive zu bestimmen.

Es handelt sich dabei um einen Preprint (s.u.), d.h. der Artikel ist noch nicht in einer Fachzeitschrift erschienen.

Sofern die Ergebnisse sich als valide erweisen, gilt (verkürzt dargestellt):

  • Schulschließungen halbieren R
  • Schließungen von Geschäften reduzieren R um ein Drittel
  • Schließungen von Bars und Restaurants reduzieren R um ein Viertel
  • Verbot von Gruppen >10 Personen: 30 % Reduktion von R
  • Verbot von Gruppen >100 Personen: 17 % Reduktion von R
  • Verbot von Gruppen >1000 Personen: 16% Reduktion von R
  • Ausgangssperre (die wir in Deutschland nicht hatten): 14% Reduktion von R

Die Studie hat gewissen Einschränkungen, die aus den Daten her rühren. So wurde das Maskentragen in europäischen Ländern erst sehr spät eingeführt und hatte damit einen geringen zusätzlichen Effekt. Daten aus Asien scheinen dagegen den positiven Effekt der Masken zu bestätigen.

Bemerkung zum “Preprint”-Begriff: Es ist heute in vielen Wissenschaftsdisziplinen völlig normal geworden, früh eine Version einer wissenschaftlichen Arbeit online zu stellen. Gibt es bei Vorträgen auf Konferenzen Nachfragen zu Details, kann man auf den Preprint verweisen. Außerdem helfen Preprints bei Prioritätenstreitigkeiten. Von der Einreichung eines Artikels bei einer Fachzeitschrift bis zum Erscheinen vergeht in der Numerik meist ungefähr ein Jahr, machmal zwei Jahre. Wenn ein Artikel erst offiziell erschienen ist, erzähle ich auf Vorträgen längst neuere Dinge. Man kann Preprints auch als Diskussionsgrundlage unter Wissenschaftlern sehen: Oft ist der finale Zeitschriftenartikel an einigen Stellen verbessert.

Bemerkung: Bereits in Science erschienen ist eine auf Deutschland bezogene Studie, die ebenfalls in der Retrospektive versucht, die Wirksamkeit von politischen Anti-Corona-Maßnahmen in Deutschland zu bestimmen. Die Arbeit basiert auf der Anpassung eines SIR- und eines SEIR-Modells an die Daten aus Deutschland. Gefunden wurde unter Anderem, dass möglicherweise erst die Kombination der nacheinander erfolgten staatlichen Maßnahmen

  • (i) Absage von Großveranstaltungen
  • (ii) Schließung von Schulen, Kindergärten und einem Teil der Geschäfte und
  • (iii) Kontaktbeschränkungen

das exponentielle Wachstum in Deutschland gestoppt hat (Seite 4 unten). Naturgemäß muss unklar bleiben, ob andere Maßnahmen (oder auch nur eine andere Reihenfolge) ebenso gewirkt hätten.

In der Tat befinden wir uns aktuell immer noch in einer instabilen Lage mit R nahe 1, obwohl ein Großteil der Maßnahmen (noch) gilt: (i) Großveranstaltungen sind weiterhin verboten; (ii) Schulen und Kindergärten sind nur im Notbetrieb; Geschäfte sind offen aber mit Maskenpflicht; (iii) Kontaktbeschränkungen gelten weiterhin, allerdings in verschiedenen Versionen, je nach Bundesland.

Das spricht dafür, dass man sich bei jeder weiteren Lockerung vorher überlegen sollte, wie man mögliche negative Effekte kompensieren kann. Ein gutes Beispiel ist: Die Geschäfte wurden geöffnet, aber eine Maskenpflicht eingeführt. Als nächstes könnte man (=wird man) die Schulen vollständig öffnen. Gleichzeitig könnte man (=wird man leider nicht) eine Test- und Eindämmungsstrategie für Lehrer/innen und Schüler/innen einführen.

30. April 2020 – Oliver Rheinbach

Fraunhofer, Helmholtz, Leibniz und Max-Planck nehmen gemeinsam Stellung zur Corona-Strategie in Deutschland

Die Bundesregierung hat ihre aktuelle Corona-Strategie nicht klar  kommuniziert.

In einem außergewöhnlichem Schritt haben nun die vier großen außeruniversitären Forschungsinstitutionen, die Fraunhofer-Gesellschaft, die Helmholtz-Gemeinschaft, die Leibniz-Gemeinschaft und die Max-Planck-Gesellschaft eine gemeinsame Stellungnahme zur Corona-Lagebewertung und zur Corona-Strategie in Deutschland verfasst (hier der Link zum PDF der Kurzversion und zur Langversion als PDF).

Dabei wird darauf hingewiesen,

  • dass die Lage bei R nahe 1 nicht stabil ist,
  • dass R bis zur Verfügbarkeit einer Impfung unter 1 gehalten werden müsse,
  • dass Herdenimmunität durch kontrollierte Durchseuchung kein gangbarer Weg sei – es dauert zu lange (Bem: und wird damit auch teuer), fordert zuviele Opfer, es besteht Unsicherheit über mögliche Spätfolgen und über die Dauer der Immunität -,
  • dass die komplette Ausrottung des Virus nur in einer internationalen Anstrengung möglich sein kann.

Daher wird als aktuell einzig gangbarer Weg die “konsequente Eindämmung” vorgeschlagen:

  1. Zuerst innerhalb von einigen Wochen eine weitere Reduktion der Neuansteckungen erreichen, durch ein R möglichst deutlich kleiner 1.
  2. Nach Erreichen einer niedrigen Zahl N an Neuinfektionen, die eine effektive Nachverfolgung der möglichen Ansteckungen (+Quarantäne) erlaubt, sind Lockerungen der Kontaktbeschränkungen möglich.

Zusätzlich zu (1.) konsequenten Hygienemaßnahmen, (2.) dem Ausbau von Nachverfolgungs- und Testkapazitäten schlägt das Papier auch vor, ein (3.) Frühwarnsystem aufzubauen, in dem regelmäßig Querschnittstests gemacht werden, damit neue Ausbrüche früh erkannt und eingedämmt werden können.

Bemerkung: Das RKI nannte zuletzt wenige hundert Neuinfektionen pro Tag als die Kapazitätsgrenze der Gesundheitsämter für die Nachverfolgung – und nannte diese Zahl auch als Ziel für N.

Bemerkung (11.5.2020): Die Bundesländer sind den Empfehlungen aus der gemeinsamen Stellungnahme von Fraunhofer, die Helmholtz, Leibniz und Max-Planck nicht gefolgt, sondern haben inzwischen noch weitergehende Lockerungsmaßnahmen beschlossen (Friseure, Geschäfte, Fußball, Gruppen,…) – leider ohne eine gleichzeitige Informationskampagne für ein besseres freiwilliges Eindämmungsverhalten. Inzwischen berechnet das RKI ein R leicht oberhalb von 1 (sowie ca. 1000 neuen Fällen pro Tag und ca. 25000 aktiven Infektionen), so dass eine Rückkehr zu einem exponentiellen Anstieg der tatsächlichen und gemessenen Fallzahlen nicht ausgeschlossen ist.

Bemerkung (16.5.2020): Eine Rückkehr zu exponentiellem Wachstum des Infektionsgeschehens ist bislang glücklicherweise vermieden worden, das RKI weisst inzwischen wieder eine Reproduktionszahl leicht unterhalb von 1 aus, genauer 0,88 (mit geglätteten Daten “7-Tage-R-Wert”: 0,89).

Bemerkung: Das ifo-Institut und das Helmholtz-Zentrums für Infektionsforschung nun erstmals wirtschaftliche und epidemiologische Folgen von verschiedenen Corona-Szenarien gemeinsam betrachtet (Zitat von Seite 1):

“Das zentrale Ergebnis unserer Analyse lautet, dass sowohl eine Verschärfung der Beschränkungen, wie sie während der Maßnahmen bis zum 20. April 2020 in Deutschland vorlagen, als auch eine zu starke Lockerung zu höheren wirtschaftlichen Kosten führen. Unsere Ergebnisse deuten darauf hin, dass eine leichte, schrittweise Lockerung der Beschränkungen den Weg mit den niedrigsten wirtschaftlichen Kosten darstellt. In unseren Berechnungen fallen die Kosten bei einer leichten Lockerung (Reproduktionszahl Rt = 0,75) gegenüber dem Status quo (Rt = 0,627). Bei einer zu starken Lockerung (Rt = 1) müssten die Beschränkungen hingegen so lange bestehen bleiben, dass die wirtschaftlichen Kosten über den gesamten Zeitraum der Jahre 2020 und 2021 insgesamt höher ausfallen würden. Die Strategie umsichtiger, schrittweiser Lockerungen ist nicht nur wirtschaftlich, sondern auch gesundheitspolitisch vorzuziehen. Die erwartete Zahl der Todesfälle würde bei schneller Öffnung deutlich höher ausfallen. Je langsamer die Öffnungen durchgeführt werden, desto geringer sind die langfristigen Opferzahlen. Es zeigt sich insofern, dass es in Bezug auf eine starke Lockerung der Maßnahmen keinen Konflikt zwischen wirtschaftlichen und gesundheitlichen Kosten gibt – aus beiden Blickwinkeln betrachtet ist eine zu starke Lockerung (Rt >= 1) nicht wünschenswert.Alternativ betrachten wir ein Szenario, in dem die Reproduktionszahl solange auf 1 gehalten wird, bis ein Impfstoff verfügbar ist. Es wird also nicht angestrebt, die Zahl der Neuinfektionen weiter zu senken, sondern auf dem gegenwärtigen Niveau zu halten. Diese Strategie erlaubt mehr Lockerungen, führt aber insgesamt wegen der langen Dauer der verbleibenden Beschränkungen zu deutlich höheren wirtschaftlichen Kosten als etwas restriktivere Wege, die mit einer umsichtigen schrittweisen Öffnung einhergehen. Auch die Zahl der Todesopfer nimmt in diesem Szenario im Vergleich zu Szenarien mit Reproduktionszahlen unter 1 überproportional zu. Es ist davon auszugehen, dass die Zahl der Todesopfer bis zur Einführung eines Impfstoffes oder wirksamen Medikaments auf einem konstant hohen Niveau bleibt, wenn sich die Infektionszahlen in der Bevölkerung nicht reduzieren.”

Bemerkung (20.05.2020): Ein aktueller Science-Artikel untersucht den Einfluss der Corona-Maßnahmen auf die Virusausbreitung in Deutschland. Die Autoren verwenden dabei ein einfaches SIR-Modell (s.o.).

25. April 2020 – Oliver Rheinbach

Was passiert, wenn wir zur Normalität zurückkehren: Eine Katastrophe mit Ansage

Schon im ersten Blog-Beitrag zu SARS-CoV-2 habe ich geschrieben: Die Epidemie hat kein Gedächtnis.

Damit war gemeint: Kehren wir (mit weitgehenden Lockerungen) zurück zur Normalität, so kehren wir zurück auf den Weg geradewegs zur Katastrophe, nur mit leichter Verzögerung.

Hier das an die in vorherigen Beitrag an die Daten angepasste SIR-Modell. Hier wurde für Tag 22 bis Tag 44 der R0-Wert auf 0,9 gesetzt (beta=0,9/7), anschließend wieder auf 2,85 (beta=2,85/7).

Hier sieht man, dass sich durch die Reduktion von R0 auf 0,9 von Tag 22 (23.03.2020) bis Tag 44 (14.04.2020) die Kurven nur entsprechend verschoben werden. Das heisst, kehren wir zur Normalität zurück (mit R nahe 3), dann kommt die Katastrophe (überlastete Krankenhäuser, Triage, Anstieg der Sterblichkeit auf 10 Prozent und mehr, als Kollateralschaden auch erhöhte Sterblichkeit auch bei “unbeteiligten” Patienten) genauso wie vorher. Nur etwas später.

Aus diesem Grund warnen Virologen vor zu vielen Lockerungen, und (vielleicht noch wichtiger) dem damit einhergehenden Verlust an Hygiene- und Distanzierungsdisziplin.

Hier noch dieselben Daten dargestellt mit logarithmisch skalierter y-Achse.

Hier sieht man auch deutlich die Abnahme der Infektionen zwischen Tag 22 und Tag 44, also während der Zeit, in der im Modell R0 auf 0,9 gesetzt wurde. Im Standardplot kann man das nicht erkennen, weil die Werte zu nahe an der x-Achse liegen.
Nach dem Ende der Phase mit R0=0,9 geht die Kurve aber unmittelbar wieder in das exponentielle Wachstum über (R0=2,85).
Die schwarzen Punkte sind wieder die Infektionsdaten aus Deutschland von NTV vom 01.03.2020 bis 21.03.2020, also die Phase des exponentiellen Wachstums, bevor die Hygienedisziplin und die Maßnahmen das Wachstum eingedämmt haben.

Hier werden wieder (nach diesem Modell) fast 30 Prozent der Bevölkerung gleichzeitig infiziert sein, mit den beschriebenen Konsequenzen.

Bemerkung: Anders als die Daten des Robert-Koch-Instituts im Dokument zur Schätzung von R0 (in der Retrospektive) Schätzung  diesem Dokument sind die Daten von NTV nicht um Diagnose und Meldeverzug korrigiert.

Es ist zwar zu erwarten, dass durch nun einstudierte Disziplin und Vorsicht die Wachstumsgeschwindigkeit niedriger bleibt als Anfang März, aber auch in diesem Fall kann das Wachstum zu schnell werden. Davor, dass die Situation wieder außer Kontrolle geraten könnte, warnte Christian Drosten (relativ zurückhaltend) schon vor einigen Tagen, das RKI hatte ebenfalls gewarnt. Nun eine erneute Warnung von Christian Drosten im ORF: Die aktuellen Lockerungen, die derzeit in vielen Ländern stattfinden, dürften auch aufgrund von Unsicherheiten und nicht intendierten Effekten entsprechende Folgen nach sich ziehen, und man müsse damit rechnen, dass die Infektionen wieder auf ein „nicht mehr erträgliches Maß“ steigen.

Inzwischen gibt es breite Warnungen durch Wissenschaftler, z.B. den Epidemiologen Timo Ulrichs (am 27.4.) oder Melanie Brinkmann (schon am 23.4.).

Das werden wir mithilfe des einfachen SIR-Modells in den kommenden Tage hier mal nachrechnen.

Bemerkung: Im SIR-Modell gibt es keine Inkubationszeit, so dass das SIR-Modell die Geschwindigkeit der Ausbreitung eher überschätzt, daher betrachten wir vielleicht ein leicht erweitertes Modell.

Bemerkung (27.4.2020): Die Deutsche Gesellschaft für Epidemiologie (DGEpi) hat heute ein Stellungnahme herausgegeben, in der sie unter Anderem auf Basis von SEIR-Simulationen schreibt, dass im Fall einer kompletten Rücknahme aller Maßnahmen (die allerdings aktuell niemand plant)  “schnell erneut ein exponentielles Wachstum eintreten” würde.

Die DGEpi schreibt: “Es muss vielmehr eine Situation geschaffen werden, in der die Zahl der neu infizierten Personen soweit reduziert wird, dass die Nachverfolgung dieser Fälle und ihrer Kontakte und anschließende Quarantäne durch die Gesundheitsbehörden möglich wird.

Sie empfiehlt eine “Containment“-Strategie, d.h. “eine wirkungsvolle und schnelle Nachverfolgung von Kontakten von Infizierten” noch während “allgemeine kontaktreduzierende Maßnahmen gelten” durch die Gesundheitsbehörden und, möglicherweise, eine App, sofern sie “Datensouveränität” sicherstellt.

Allerdings, aktuell “scheint […] eine weitere Reduktion der Zahl der Neuinfizierten notwendig, um die Gesundheitsbehörden in die Lage zu versetzen, durch Nachverfolgung, Isolations- und Quarantänemaßnahmen die weitere Ausbreitung des Virus unter Kontrolle zu halten.

Bemerkung (27.04.2020): Der heutige Lagebericht des RKI (Situationsbericht von 27.04.2020) enthält auf Seite 8 ein aktualisiertes Nowcasting und schätzt, dass R0 bereits wieder auf den Wert 1,0 gestiegen ist. Die Anzahl der Neuinfektionen geht damit nicht mehr zurück.

25. April 2020 – Oliver Rheinbach

Was wir über über die epidemiologischen Parameter von SARS-CoV-2 wissen.

Zusammenstellung von Parametern von SARS-CoV-2 (Achtung, diese Parameter sind keine Naturkonstanten):

Serial interval/Serielles Interval: ca. 4 Tage (z.B. hier aus chinesischen Daten);

Das RKI nimmt zur Berechnung von R0 eine Generationenzeit von 4 Tagen an.

Als “Serielles Interval” wird die Zeit zwischen Symptombeginn bei Person A und Symptombeginn bei einer angesteckten Person B bezeichnet. Als Generationenzeit die Zeit zwischen der Infektion von A und der Infektion von B. Diese beide Zahlen werden ähnlich oder fast gleich sein.

Basisreproduktionszahl R0: Laut RKI zwischen 2,4 und 3,3

Rückwärtsschau zum zeitlichen Verlauf von R von Anfang März bis Anfang April 2020 in Deutschland (Berechnungen RKI, die angenommene Generationenzeit ist 4 Tage). Hier die Antwort des RKI zur einer oft gestellten Frage.

Inkubationszeit: im Median 5-6 Tage bei starker Spreizung

  • Letalität: Laut RKI am 25.4.2020 in Deutschland 3,6 Prozent. Weitere Zahlen hat das RKI hier zusammengestellt. Die tatsächliche Letalität ist aufgrund der Dunkelziffer schwer zu bestimmen. Sie ist zudem stark altersabhängig.
    Frühe chinesische Zahlen lauteten (finde auf die Schnelle nur diese Sekundärquelle):
  • 10-19 Jahre: 0,2 Prozent
  • 20-29 Jahre: 0,2 Prozent
  • 30-39 Jahre: 0,2 Prozent
  • 40-49 Jahre: 0,4 Prozent
  • 50-50 Jahre: 1,3 Prozent
  • 60-69 Jahre: 3,6 Prozent
  • 70-79 Jahre: 8 Prozent
  • 80 Jahre: 14,8 Prozent

Bemerkung: Es gibt bisher wenig Daten zu Situationen ohne Dunkelziffer. Auf einem Flugzeugträger wurde die gesamte Besatzung von 4800 Besatzungsmitgliedern getestet und 580 Tests fielen positiv auf SARS-CoV-2 aus. Ein Besatzungsmitglied ist inzwischen an Covid-19 gestorben.

 

24. April 2020 – Oliver Rheinbach

Modellierung von Epidemien mit einem einfachen Modell (SIR-Modell und SARS-CoV-2-Daten)

Um Entscheidungen zu Epidemien zu treffen (oder zu verstehen) muss man zuerst exponentielles Wachstum verstehen: aus 100 Infizierten werden schon nach 20 Verdopplungen 100 Millionen Infizierte.

Dieses explosive Wachstum führt dazu, dass Krankenhäuser überlastet werden. Um die Geschwindigkeit des Wachstums zu reduzieren, kam es in fast allen Ländern der Welt mit exponentiell schnellen Ausbrüchen zu radikalen Maßnahmen, wie etwa die Kontaktbeschränkungen (+weiteren Maßnahmen) in Deutschland. Einige Länder kamen ohne solche Maßnahme aus, weil Sie den jeden Ausbruch früh genug unter Kontrolle bekommen haben. Italien, Frankreich und Spanien hatten dagegen deutlich strengere Maßnahmen als Deutschland (d.h. echte Ausgangssperren), mit ähnlichem Erfolg wie Deutschland.

Exponentielles Wachstum tritt am Anfang einer Epidemie auf. Durch erworbene Immunität schwächt sich die Epidemie ab, sobald ein substantieller Anteil der Bevölkerung die Infektion durchgemacht hat.

Die einfachsten Modelle, die dieses Verhalten beschreiben, sind die schon erwähnten SIR-Modelle und verfeinerte Varianten davon. Solche Modelle sind nötig, um Fragen zu beantworten wie: Wie hoch wird die Zahl der gleichzeitig Infizierten maximal sein und wann wird das sein? Wie hoch wird der Anteil der Bevölkerung sein, der sich im schlimmsten Fall ansteckt? Auch das RKI verwendet Varianten von SIR-Modellen für Grippesimulationen und jetzt auch für SARS-CoV-2.

Es gibt ein paar Online-Rechner zu SIR-Modellen, zum Teil mit sehr vielen Parametern. Das einfachste Modell kommt jedoch mit zwei Parametern aus: alpha und beta. Die sogenannte Basisreproduktionszahl R0, über die zur Zeit so viel diskutiert wird, ist dann der Quotient beta/alpha.

Das Modell hat nur drei Variablen:

  • S (susceptibles; Ansteckbare)
  • I (infected; Infizierte)
  • R (recovered/removed; Geheilte oder Verstorbene)

Die Werte der Variablen liegen immer zwischen 0 und 1, was sich dann als 0 Prozent bis 100 Prozent der Bevölkerung interpretieren lässt.

Das SIR-Modell wird durch ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen beschrieben (vielleicht folgt in einem weiteren Beitrag die diskretisierte Variante, die dann ohne sichtbare Ableitung auskommt), in der einfachsten Variante:

  • S'(t)=-beta*S(t)*I(t)
  • I'(t)=beta*S(t)*I(t) – alpha*I(t)
  • R'(t)=alpha*I(t)

Hier gibt die Konstante beta an, wieviele andere ein Infizierter pro Zeiteinheit (z.B. pro Tag) ansteckt. Aus I(t) Infizierten (z.B. 10 Prozent der Bevölkerung) werden also nach einem Tag beta*I(t) Infizierte (also z.B. 15 Prozen, wenn beta=3/2), sofern jeder infizierbar ist. Da aber nur S(t) infizierbar ist (90 Prozent sind noch infizierbar, weil 10 Prozent ja schon infiziert sind), wird noch mit S(t) multipliziert.

Die mittlere Gleichung sagt also: Pro Tag kommen beta*S(t)*I(t) Infizierte dazu (immer in Prozent gerechnet, da alle Variablen zwischen 0 und 1 sind).

Die erste Gleichung sagt, dass die Anzahl der Infizierbaren entsprechend sinkt.

Die letzte Gleichung sagt, dass pro Zeiteinheit (z.B. pro Tag) ein Anteil alpha der Infizierten gesundet (oder stirbt, das wird hier nicht unterschieden). Daher ist 1/alpha ist die durchschnittliche Krankheitsdauer (z.B. 7 Tage).

Wenn beta die Infektionen pro Tag sind und 1/alpha die Krankheitsdauer in Tagen, dann sind beta/alpha die Infektionen, die ein Kranker während seiner gesamten Krankheit verursacht (wenn niemand immun oder bereits infiziert ist). Das ist die Basisreproduktionszahl R0.

Das Modell weicht natürlich von der Realität der SARS-CoV-2-Epidemie ab. Beispiel: Ein Infizierter ist im Modell während seiner Krankheit jeden Tag gleich ansteckend. Bei SARS-CoV-2 ist es so, dass ein Infizierter in den ersten Tagen nach seiner eigenen Infektion besonders ansteckend ist (mit einem Höhepunkt am Tag unmittelbar vor dem Symptombeginn), obwohl er noch keine Symptome hat (im Median 5 Tage lang). In der zweiten Woche ist ein Infizierter kaum mehr ansteckend (außer bei engem Kontakt z.B. mit Krankenhauspersonal) – obwohl er sich dann erst richtig krank fühlt.

Aus diesem Grund wollen wir für unser Modell 1/alpha = 7 Tage Krankheitsdauer annehmen. Das heißt, wir nehmen an, dass alle Ansteckungen während der ersten 7 Tage passiert (und ignorieren die zweite Krankheitswoche des durchschnittlichen Covid-19-Patienten).

Wenn wir nun versuchen, beta so zu wählen, dass es auf die SARS-CoV-2-Infektionsdaten in Deutschland vom Anfang März 2020 passt, bekommen wir den folgenden Verlauf (S blau, I rot, R grün). Tag 0 ist wieder der 1. März 2020. Die genauen Parameter sind beta=2.85/7 und alpha=1/7. Dementsprechend ist R0=2.85, also knapp unter 3. Das passt grob zur (rückwärts berechneten) Schätzung des RKI von R0 für Anfang März 2020 und zu anderen Quellen.

Dieses Szenario beschreibt, was passiert wäre, hätte es gar keine eindämmenden Maßnahmen gegeben – für diesen Fall ist dieses einfache Modell sogar relativ gut geeignet. Man sieht, dass kurz nach Tag 50 (genauer: am Tag 54, das wäre der 23. April 2020 gewesen, also vorgestern) das Maximum bei den Infizierten erreicht wird (rote Kurve): Es sind an diesem Tag fast 30 Prozent (genauer: 28 Prozent) der Bevölkerung gleichzeitig infiziert. Eine Katastrophe für die Krankenhäuser, denn selbst wenn nur ein Prozent schwere Verläufe angenommen werden, bedeutet das über 200000 Schwerkranke (bei aktuell 30000 Intensivbetten in Deutschland, von denen maximal 2/3 für Covid-19 zur Verfügung stehen werden.)

Ingesamt werden innerhalb der 100 Tage Berechnungszeit über 90 Prozent der Bevölkerung infiziert (grüne Kurve).

Ich habe oben geschrieben, dass beta=2.85/7 (bei angenommenen alpha=1/7, also 7 Tage Erkrankungsdauer) so gewählt wurde, dass es zu den deutschen Daten von Anfang März passt. Hier ist dargestellt, wie gut es passt:

Der Vergleich von I(t) (rote Kurve) mit den Infektionszahlen (Daten von NTV, siehe den allerersten Blog-Beitrag) geteilt durch 80 Millionen (schwarze Punkte). Die Kurve passt gut.

Hier die Messwerte (schwarze Punkte) noch einmal, aber eingetragen ein einen semilogarithmischen Plot von S, I und R (in der Standarddarstellung wie oben, könnte man nichts zu erkennen).

Man sieht, dass die rote Kurve sehr gut zu den Infektionszahlen in Deutschland (1. März bis 21. März 2020) passt. Da die y-Achse logarithmsch aufgetragen ist (semilog) ist, ist die Phase des exponentiellen Wachstums als Geradenabschnitt zu sehen. Die Steigung passt gut zusammen.

Im ersten Beitrag haben wir gesehen, dass das exponentielle Modell für den Tag 40 etwa 4,4 Millionen Infizierte prognostiziert hat. In der semilogarithmischen Plot (y-Achse logarithmisch) sieht man, dass das exponentielle Modell ungefähr bis Tag 45 gültig ist, hier der Ausschnitt bis Tag 45:

Das bedeutet aber, dass auch dieses Modell (ohne Eindämmungsmaßnahmen) vorhersagt, dass innerhalb von 40 Tagen aus 100 Infizierten mehr als 4 Millionen werden (etwa 5 Prozent der Bevölkerung bzw. 5e-2).

Nach Tag 45 ist die Phase des exponentiellem Wachstum (mit konstantem Wachstumsfaktor) beendet. Allerdings sind nach Tag 46 fast 15 Prozent der Bevölkerung infiziert (entsprechend 12 Mio Infizierten) – erst dann kommt es zu einer sichtbaren Abschwächung des Wachstums.

Bemerkung zu R0: Wenn man aus echten Daten den Wert von R0 schätzen will, muss man immer eine Generationenzeit annehmen. Das RKI berechnet R0 so (S. 14):

“Bei einer konstanten Generationszeit von 4 Tagen, ergibt sich R als Quotient der Anzahl von Neuerkrankungen in zwei aufeinander folgenden Zeitabschnitten von jeweils 4 Tagen. Der so ermittelte R-Wert wird dem letzten dieser 8 Tage zugeordnet, weil erst dann die gesamte Information vorhanden ist. Daher beschreibt dieser R-Wert keinen einzelnen Tag, sondern ein Intervall von 4 Tagen. Das dazu gehörende Infektionsgeschehen liegt jeweils eine Inkubationszeit vor dem Erkrankungsbeginn. Hat sich die Anzahl der Neuerkrankungen im zweiten Zeitabschnitt erhöht, so liegt das R über 1. Ist die Anzahl der Neuerkrankungen in beiden Zeitabschnitten gleich groß, so
liegt die Reproduktionszahl bei 1. Dies entspricht dann einem linearen Anstieg der Fallzahlen. Wenn dagegen nur jeder zweite Fall eine weitere Person ansteckt, also R = 0,5 ist, dann halbiert sich die Anzahl der neuen Infektionen innerhalb der Generationszeit.”

Schlussbemerkungen: Wir haben nur zwei Parameter (beta und alpha), dennoch gibt es noch andere Kombinationen von beta und alpha, die ähnlich gut zu den Daten passen. Sie liefern aber auch Ergebnisse, die ähnlich sind.

Eigentlich wollte ich Ihnen Octave-Implementierung (entweder mit Euler oder mit dem eingebautem ODE-Löser) an die Hand geben, damit Sie die Rechnungen nachvollziehen können – das verschieben wir aber.

Korrektur (06.07.2020): In der zweiten Gleichung des (einfachsten) SIR-Modells fehlte “- alpha*I(t)”. Danke für den Hinweis.

 

 

 

19. April 2020 – Oliver Rheinbach

Regierungssprecher formuliert das Ziel “R von 1,0”

Nach Medienberichten hat der Regierungssprecher Helge Braun die Strategie der Bundesregierung mit den Worten beschrieben: “Die Zahl der täglichen Neuinfektionen sollte auf einem gleichbleibenden Niveau sein. Das entspricht einer Basisreproduktionszahl R von 1,0 und bedeutet, dass ein Infizierter nur einen weiteren Menschen ansteckt.” (Zitiert nach T-online).

Eine Herdenimmunität durch Durchseuchung wird demnach nicht angestrebt (wegen sicherer Überlastung des Gesundheitssystems): “Um nur die Hälfte der deutschen Bevölkerung in 18 Monaten zu immunisieren, müssten sich jeden Tag 73.000 Menschen mit Corona infizieren. […] So hohe Zahlen würde unser Gesundheitssystem nicht verkraften und könnten auch von den Gesundheitsämtern nicht nachverfolgt werden.” (Zitiert nach T-online).

Und “Daher lautet die Strategie, Ansteckungen zu vermeiden und bezüglich der Immunität auf die Einsatzfähigkeit eines Impfstoffs zu warten.” (Zitiert nach T-online).

Damit ist klar auch, dass eine (kurzfristig teure) Eindämmung (mit R deutlich kleiner als 1, etwa nach dem Vorbild asiatischer Länder) von der Bundesregierung nicht angestrebt wird. Als Grund wird angegeben: “Politisch müssen wir bedenken, dass Deutschland sich mitten in Europa aufgrund der Pendlerströme und Wirtschaftsverkehre nicht so gut abschotten kann und will. […] Selbst wenn wir das Virus stark zurückdrängen, kommt es dann aus dem Ausland immer wieder zurück.” (Zitiert nach T-online).

Dazu ist zu bemerken, dass die bislang geltenden Maßnahmen einschneidend und (kurzfristig) sehr teuer sind. Allerdings bedeutet ein R nahe 1 eine instabile Lage, die jederzeit außer Kontrolle geraten kann – und selbst im besten Fall ein langes Andauern der Epidemie-Lage bedeutet, bis ein Impfstoff zur Verfügung steht (Simulationen dazu folgen).

Es ist auch festzustellen, dass die Strategie “R nahe 1” (+Spekulieren auf einen Impfstoff) als auch die Umsetzung der Stategie den wissenschaftlichen Empfehlungen widerspricht:

  • Diese Strategie widerspricht der Empfehlung der Helmholtz-Iniative.
  • Die Bedingungen, die die Leopoldina für eine Lockerung der Maßnahmen (Maskenpflicht, Verfolgungsapp) sind nicht erfüllt worden.

Bemerkung (20.4.2020): Inzwischen hat nach Sachsen und Mecklenburg-Vorpommern auch Bayern eine Maskenpflicht angekündigt. Jena hat schon länger eine Maskenpflicht und ist damit erfolgreich.

Bemerkung (22.4.2020): Weiter Bundesländer haben inzwischen nachgezogen und werden eine (teilweise) Maskenplicht einführen. Bislang galt nur eine dringende Aufforderung zum Maskentragen.

Bemerkung zur App (22.4.2020): Die Daten einer Infektionsverfolgungsapp lassen sich am besten schützen, wenn sie gar nicht erst zentral gespeichert werden.

Schlussbemerkung: Eine Optimierung von R mit der Anzahl der Intensivbetten (30000, davon aktuell 13000 frei) oder der Anzahl der Beatmungsgeräte als obere Schranke (Optimierung unter Nebenbedingungen) vernachlässigt, dass auch unter diesen Bedingungen viele Patienten sterben oder bleibende Schäden behalten. So sterben offenbar aktuell in New York über 80 Prozent der Covid-19-Patienten, die beatmet werden, in Großbritannien zwei Drittel.

Bemerkung (zu R): Heute wird in den Medien die Schätzung von R durch das RKI viel diskutiert. Gemeint ist dabei Abbildung 5 im schon oben verlinkten Bulletin des RKI von 15.4.2020 (hier der direkte Link zum PDF, Abb. 5 ist auf S. 14). Wichtig dabei ist, dass die Daten bearbeitet wurden (Nowcasting, eine Form der Extrapolation), d.h. sie wurden rechnerisch “um Diagnose-, Melde-, und Übermittlungsverzug” korrigiert. Das heißt, die Korrektur soll etwa kompensieren, dass Gesundheitsämter Fälle noch nicht in das Meldesystem des RKI eingetragen haben. Außerdem dauert es einige Zeit, bis nach einer Erkrankung eine sichere Diagnose gestellt wird.
Wichtig in unserem Zusammenhang ist, wie das RKI begründet, dass R nach Mitte März nicht weiter gesunken ist (S. 17): 1. Die Testkapazitäten wurden erweitert, so dass mehr Fälle sichtbar wurden. 2. Mehr ältere Menschen haben sich angesteckt, auch durch Ausbrüche in Heimen und Krankenhäusern.
Während der erste Effekt rechnerisch ist, ist der zweite Effekt real: Auf dem Weg durch die Bevölkerungsgruppen trifft das Virus auch auf neue, schnellere Verbreitungsmöglichkeiten, wie etwa Pflegeheime. Es ist zu erwarten, dass dieser Effekt andauert.

Bemerkung (25.4.2020): Inzwischen hat die Bundeskanzlerin in einer Rede im Bundestag die Lockerungen als “zu forsch” bezeichnet und auch das Robert-Koch-Institut warnt nun offiziell in einer Pressekonferenz vor weiteren Lockerungen. Weitere Lockerungen seien erst bei “wenigen Hundert” Infektionsfällen pro Tag möglich, weil erst dann die Gesundheitsämter wieder zur Kontaktverfolgung (+Quarantäne) fähig sind. Aber: “Derzeit melden die Ämter im Durchschnitt täglich noch rund 2.000 Neuinfektionen in Deutschland.”. – Allerdings scheint es, als ob ein großer Teil der Medien, Wirtschaft und ein großer Teil der Bundesländer nun andere Prioritäten im Vordergrund sehen wollen.

Bemerkung (26.4.2020): Schon am 22.4. hat sich das RKI vorsichtig kritisch zu Lockerungen geäußert: “Eine unkontrollierte Lockerung der Maßnahmen und eine Rückkehr zu „prä-Pandemie-Verhalten“ würde somit zu einem erneuten Anstieg der täglichen Fallzahlen und einer Annäherung der effektiven Reproduktionszahl an die Basisreproduktionszahl führen.

Bemerkung (26.4.2020): Christian Drosten äußert sich in der SZ zu R und äußert sich kritisch über die Lockerungen.

 

18. April 2020 – Oliver Rheinbach

Verdopplung, Verdopplung (Verdopplungszeiten bei SARS-CoV-2-Infektionen)

Anfang März 2020 verdoppelte sich die Zahl der SARS-CoV-2-Infizierten alle 2 bis 3 Tage (siehe auch die Abbildung hier).

Die Verdopplungszeit ist eine griffige Art, exponentielles Wachstum und seine Geschwindigkeit greifbarer zu machen. Relativ schnell haben fast alle Medien Verdopplungszeiten zusätzlich zu den Infektionszahlen angegeben, offenbar (auch?) inspiriert von einem Blog. (Der kleine Bruder der Verdopplungszeit ist die Halbwertszeit – Ältere erinnern sich noch an Tschernobyl, aber das ist eine andere Geschichte.)

Bei exponentiellem Wachstum f(t)=eat für ein a>0 ist die Verdopplungszeit tV=ln(2)/a, wie man schnell nachrechnet. Eine schnelle Probe: Für a=ln(2), also f(t)=eln(2)t=2t ist die Verdopplungszeit dann natürlich tV=1.

Folgt eine Größe (etwa die Infektionszahlen) einem exponentiellem Wachstumsgesetz f(t)=eat, ist die Verdopplungszeit konstant (s.o.). Ändert sich die Verdopplungszeit, ist es keine Exponentialfunktion eat mehr.

Übrigens, fast alle BWLer und Bänker kennen die sogenannte 70er-Regel: Wächst die Zahl der Infizierten jeden Tag um x Prozent, dann ist die Verdopplungszeit (ungefähr) 70/x. Bei 5 Prozent Zinsen verdoppelt sich die Einlage also in 14 Jahren. Die Regel kommt daher, dass ln(2) ungefähr 0,69315 ist, also fast 0,7.

Nochmal Übrigens: Jeder Informatiker hat im Kopf, dass 210=1024, also ungefähr 1000. Demnach ist 220 unfähr eine Million. Das wiederum heißt, dass aus einem einzigen Infiziertem nach 26 Verdopplungen mehr als 64 Millionen Infizierte werden. Übrigens, 1 KiB=1024 Byte und 1 kB=1000 Byte.

Bei einer Verdopplungszeit von 2,6 Tagen, wie sie SARS-CoV-2 sie in Deutschland Anfang März hatte (siehe hier), hätten also etwas mehr als 2 Monate genügt, bis die gesamte deutsche Bevölkerung infiziert gewesen wäre. (Allerdings folgt eine Durchseuchung nur in der Anfangsphase einem exponentiellen Gesetz.)

Die Verdopplungszeit machte Karriere, als ihre Verlängerung auf 10 oder mehr Tage erklärtes Ziel der Bundesregierung wurde. Spätestens jetzt fingen Diskussionen an, denn wie die Verdopplungszeit berechnet werden soll, wenn gar keine Exponentialfunktion eat vorliegt. Die Zeitung “Die Zeit” etwa gibt in ihren Graphiken an, wieviele Tage es her ist, dass die Infiziertenzahl halb so hoch war wie heute. Andere Medien scheinen die Verdopplungszeit anhand der Infiziertenzahlen der letzten (beiden?) Tage zu berechnen.

Ein Analysis-Professor aus Bielefeld hat in den Medien (etwa hier und hier) und auf Youtube die Verdopplungszeit(en) und ihre Berechnung diskutiert und ein mathematisch relativ naheliegendes Verfahren zur Berechnung vorgeschlagen: Da die Verdopplungszeit sich ändert, sollte man Daten aus den letzten Tagen nehmen, aber mehr als nur die letzten zwei Tage, um Schwankungen wegen Wochenendeffekten etc. zu verringern. Zum Beispiel könnte man daher die letzten 7 Tage nehmen.

Diese Zahlen werden dann logarithmiert. Anders als hier, zu Anfang der Epidemie und ohne Maßnahmen, werden die Datenpunkte nun eher nicht auf einer Geraden liegen. Daher ist es sinnvoll, mit der Methode der Kleinsten Quadrate eine (möglichst einfache) Kurve die Daten anzupassen. Einfach ist etwa ein Polynom zweiten Grades. Letztlich ist man an dann der Steigung der Kurve am heutigen Tag interessiert, also an der Ableitung des Polynoms zum heutigen Zeitpunkt.

Wenn man die Verdopplungszeiten als Leistungsparameter definieren will, ist das sicher eine gute Methode. Das Verfahren ist z.B. exakt, wenn (nach Logarithmierung) tatsächlich ein Polynom zweiten Grades vorliegt (anders als wenn man nur die letzten zwei Tage auswertet).

Letztlich ist aber die Verdopplungszeit vielleicht gar kein gutes Maß, denn wir wollen die Epidemie ja eindämmen, also bestenfalls überhaupt kein Wachstum mehr haben. Tatsächlich weisen eigene Medien für asiatische Länder, die erfolgreiche Eindämmung betrieben haben (erfolgreicher als Europa?) , Verdopplungszeiten von unendlich aus.

Stattdessen wird jetzt über die Reproduktionszahl R bzw. R0 gesprochen. Dieser Begriff hat aber auch seine Schwierigkeit, weil dazu eigentlich eine Zeitskala gehört, etwa die Generationenzeit. Hier ein Artikel zur Schätzung von R0 und der Generationenzeit für SARS-CoV-2 zum Zeit des exponentiellen Wachstums in China.