Themen aus der Numerik mit aktuellem Bezug

Wir haben bisher hier vor allem Worst-Case-Szenarien betrachtet, also ein R zwischen 2 und 3. Das ist nicht realistisch, selbst wenn alle staatlichen Maßnahmen und Beschränkungen sofort entfallen würden. Auch dann würde sich ein Teil der Menschen weiter vorsichtiger verhalten als vor der Pandemie (durch die WHO wurde der Pandemiezustand erst am 12.3.2020 erklärt!) und Risikogruppen würden sich wohl vollständig aus der Öffentlichkeit zurückziehen (müssen).

Wir befinden uns aktuell in Deutschland in einer besonders kritischen (aber wissenschaftlich interessanten) Phase, in der von den Bundesländern bestimmte Lockerungen ausprobiert werden, in der Hoffnung, dass die Auswirkungen begrenzt bleiben werden, d.h. insbesondere, dass R kleiner 1 bleibt. Solange Ausbrüche lokal bleiben und Kontakte nachverfolgt werden können (aktuell durch die Gesundheitsämter immer noch „händisch“, also mit Telefon in der einen und Telefonliste in der anderen Hand), so die Hoffnung, kann eine zweite Phase exponentiellen Wachstums verhindert werden.

Die Politik wählt die Lockerungen dabei eher nicht auf fundierter wissenschaftlicher Basis aus, sondern eher „experimentell“, als Reaktion auf die Öffentlichkeitsarbeit von Interessengruppen: Vertreter des Handels wollen die Maskenpflicht in Geschäften loswerden, Arbeitgeber treten für die Kindergarten- und Schulöffnung ein, damit Ihre Angestellten in Ruhe arbeiten können.

Nun wäre es schön, wenn wir in unserem SIR oder SEIR-Modell das R der jeweils aktuellen Lage anpassen könnten. Dazu gab es bisher viele Vorschläge und Meinungen, aber wenig Fundiertes. Nun hat eine Gruppe von Wissenschaftlern versucht, auf Basis der Daten vieler Länder die Wirksamkeit von Corona-Eindämmungsmaßnahmen in der Retrospektive zu bestimmen.

Es handelt sich dabei um einen Preprint (s.u.), d.h. der Artikel ist noch nicht in einer Fachzeitschrift erschienen.

Sofern die Ergebnisse sich als valide erweisen, gilt (verkürzt dargestellt):

• Schulschließungen halbieren R
• Schließungen von Geschäften reduzieren R um ein Drittel
• Schließungen von Bars und Restaurants reduzieren R um ein Viertel
• Verbot von Gruppen >10 Personen: 30 % Reduktion von R
• Verbot von Gruppen >100 Personen: 17 % Reduktion von R
• Verbot von Gruppen >1000 Personen: 16% Reduktion von R
• Ausgangssperre (die wir in Deutschland nicht hatten): 14% Reduktion von R

Die Studie hat gewissen Einschränkungen, die aus den Daten her rühren. So wurde das Maskentragen in europäischen Ländern erst sehr spät eingeführt und hatte damit einen geringen zusätzlichen Effekt. Daten aus Asien scheinen dagegen den positiven Effekt der Masken zu bestätigen.

Bemerkung zum „Preprint“-Begriff: Es ist heute in vielen Wissenschaftsdisziplinen völlig normal geworden, früh eine Version einer wissenschaftlichen Arbeit online zu stellen. Gibt es bei Vorträgen auf Konferenzen Nachfragen zu Details, kann man auf den Preprint verweisen. Außerdem helfen Preprints bei Prioritätenstreitigkeiten. Von der Einreichung eines Artikels bei einer Fachzeitschrift bis zum Erscheinen vergeht in der Numerik meist ungefähr ein Jahr, machmal zwei Jahre. Wenn ein Artikel erst offiziell erschienen ist, erzähle ich auf Vorträgen längst neuere Dinge. Man kann Preprints auch als Diskussionsgrundlage unter Wissenschaftlern sehen: Oft ist der finale Zeitschriftenartikel an einigen Stellen verbessert.

Bemerkung: Bereits in Science erschienen ist eine auf Deutschland bezogene Studie, die ebenfalls in der Retrospektive versucht, die Wirksamkeit von politischen Anti-Corona-Maßnahmen in Deutschland zu bestimmen. Die Arbeit basiert auf der Anpassung eines SIR- und eines SEIR-Modells an die Daten aus Deutschland. Gefunden wurde unter Anderem, dass möglicherweise erst die Kombination der nacheinander erfolgten staatlichen Maßnahmen

• (i) Absage von Großveranstaltungen
• (ii) Schließung von Schulen, Kindergärten und einem Teil der Geschäfte und
• (iii) Kontaktbeschränkungen

das exponentielle Wachstum in Deutschland gestoppt hat (Seite 4 unten). Naturgemäß muss unklar bleiben, ob andere Maßnahmen (oder auch nur eine andere Reihenfolge) ebenso gewirkt hätten.

In der Tat befinden wir uns aktuell immer noch in einer instabilen Lage mit R nahe 1, obwohl ein Großteil der Maßnahmen (noch) gilt: (i) Großveranstaltungen sind weiterhin verboten; (ii) Schulen und Kindergärten sind nur im Notbetrieb; Geschäfte sind offen aber mit Maskenpflicht; (iii) Kontaktbeschränkungen gelten weiterhin, allerdings in verschiedenen Versionen, je nach Bundesland.

Das spricht dafür, dass man sich bei jeder weiteren Lockerung vorher überlegen sollte, wie man mögliche negative Effekte kompensieren kann. Ein gutes Beispiel ist: Die Geschäfte wurden geöffnet, aber eine Maskenpflicht eingeführt. Als nächstes könnte man (=wird man) die Schulen vollständig öffnen. Gleichzeitig könnte man (=wird man leider nicht) eine Test- und Eindämmungsstrategie für Lehrer/innen und Schüler/innen einführen.

Die Bundesregierung hat ihre aktuelle Corona-Strategie nicht klar  kommuniziert.

In einem außergewöhnlichem Schritt haben nun die vier großen außeruniversitären Forschungsinstitutionen, die Fraunhofer-Gesellschaft, die Helmholtz-Gemeinschaft, die Leibniz-Gemeinschaft und die Max-Planck-Gesellschaft eine gemeinsame Stellungnahme zur Corona-Lagebewertung und zur Corona-Strategie in Deutschland verfasst (hier der Link zum PDF der Kurzversion und zur Langversion als PDF).

Dabei wird darauf hingewiesen,

• dass die Lage bei R nahe 1 nicht stabil ist,
• dass R bis zur Verfügbarkeit einer Impfung unter 1 gehalten werden müsse,
• dass Herdenimmunität durch kontrollierte Durchseuchung kein gangbarer Weg sei – es dauert zu lange (Bem: und wird damit auch teuer), fordert zuviele Opfer, es besteht Unsicherheit über mögliche Spätfolgen und über die Dauer der Immunität -,
• dass die komplette Ausrottung des Virus nur in einer internationalen Anstrengung möglich sein kann.

Daher wird als aktuell einzig gangbarer Weg die „konsequente Eindämmung“ vorgeschlagen:

1. Zuerst innerhalb von einigen Wochen eine weitere Reduktion der Neuansteckungen erreichen, durch ein R möglichst deutlich kleiner 1.
2. Nach Erreichen einer niedrigen Zahl N an Neuinfektionen, die eine effektive Nachverfolgung der möglichen Ansteckungen (+Quarantäne) erlaubt, sind Lockerungen der Kontaktbeschränkungen möglich.

Zusätzlich zu (1.) konsequenten Hygienemaßnahmen, (2.) dem Ausbau von Nachverfolgungs- und Testkapazitäten schlägt das Papier auch vor, ein (3.) Frühwarnsystem aufzubauen, in dem regelmäßig Querschnittstests gemacht werden, damit neue Ausbrüche früh erkannt und eingedämmt werden können.

Bemerkung: Das RKI nannte zuletzt wenige hundert Neuinfektionen pro Tag als die Kapazitätsgrenze der Gesundheitsämter für die Nachverfolgung – und nannte diese Zahl auch als Ziel für N.

Bemerkung (11.5.2020): Die Bundesländer sind den Empfehlungen aus der gemeinsamen Stellungnahme von Fraunhofer, die Helmholtz, Leibniz und Max-Planck nicht gefolgt, sondern haben inzwischen noch weitergehende Lockerungsmaßnahmen beschlossen (Friseure, Geschäfte, Fußball, Gruppen,…) – leider ohne eine gleichzeitige Informationskampagne für ein besseres freiwilliges Eindämmungsverhalten. Inzwischen berechnet das RKI ein R leicht oberhalb von 1 (sowie ca. 1000 neuen Fällen pro Tag und ca. 25000 aktiven Infektionen), so dass eine Rückkehr zu einem exponentiellen Anstieg der tatsächlichen und gemessenen Fallzahlen nicht ausgeschlossen ist.

Bemerkung (16.5.2020): Eine Rückkehr zu exponentiellem Wachstum des Infektionsgeschehens ist bislang glücklicherweise vermieden worden, das RKI weisst inzwischen wieder eine Reproduktionszahl leicht unterhalb von 1 aus, genauer 0,88 (mit geglätteten Daten „7-Tage-R-Wert“: 0,89).

Bemerkung: Das ifo-Institut und das Helmholtz-Zentrums für Infektionsforschung nun erstmals wirtschaftliche und epidemiologische Folgen von verschiedenen Corona-Szenarien gemeinsam betrachtet (Zitat von Seite 1):

„Das zentrale Ergebnis unserer Analyse lautet, dass sowohl eine Verschärfung der Beschränkungen, wie sie während der Maßnahmen bis zum 20. April 2020 in Deutschland vorlagen, als auch eine zu starke Lockerung zu höheren wirtschaftlichen Kosten führen. Unsere Ergebnisse deuten darauf hin, dass eine leichte, schrittweise Lockerung der Beschränkungen den Weg mit den niedrigsten wirtschaftlichen Kosten darstellt. In unseren Berechnungen fallen die Kosten bei einer leichten Lockerung (Reproduktionszahl Rt = 0,75) gegenüber dem Status quo (Rt = 0,627). Bei einer zu starken Lockerung (Rt = 1) müssten die Beschränkungen hingegen so lange bestehen bleiben, dass die wirtschaftlichen Kosten über den gesamten Zeitraum der Jahre 2020 und 2021 insgesamt höher ausfallen würden. Die Strategie umsichtiger, schrittweiser Lockerungen ist nicht nur wirtschaftlich, sondern auch gesundheitspolitisch vorzuziehen. Die erwartete Zahl der Todesfälle würde bei schneller Öffnung deutlich höher ausfallen. Je langsamer die Öffnungen durchgeführt werden, desto geringer sind die langfristigen Opferzahlen. Es zeigt sich insofern, dass es in Bezug auf eine starke Lockerung der Maßnahmen keinen Konflikt zwischen wirtschaftlichen und gesundheitlichen Kosten gibt – aus beiden Blickwinkeln betrachtet ist eine zu starke Lockerung (Rt >= 1) nicht wünschenswert.Alternativ betrachten wir ein Szenario, in dem die Reproduktionszahl solange auf 1 gehalten wird, bis ein Impfstoff verfügbar ist. Es wird also nicht angestrebt, die Zahl der Neuinfektionen weiter zu senken, sondern auf dem gegenwärtigen Niveau zu halten. Diese Strategie erlaubt mehr Lockerungen, führt aber insgesamt wegen der langen Dauer der verbleibenden Beschränkungen zu deutlich höheren wirtschaftlichen Kosten als etwas restriktivere Wege, die mit einer umsichtigen schrittweisen Öffnung einhergehen. Auch die Zahl der Todesopfer nimmt in diesem Szenario im Vergleich zu Szenarien mit Reproduktionszahlen unter 1 überproportional zu. Es ist davon auszugehen, dass die Zahl der Todesopfer bis zur Einführung eines Impfstoffes oder wirksamen Medikaments auf einem konstant hohen Niveau bleibt, wenn sich die Infektionszahlen in der Bevölkerung nicht reduzieren.“

Bemerkung (20.05.2020): Ein aktueller Science-Artikel untersucht den Einfluss der Corona-Maßnahmen auf die Virusausbreitung in Deutschland. Die Autoren verwenden dabei ein einfaches SIR-Modell (s.o.).

Schon im ersten Blog-Beitrag zu SARS-CoV-2 habe ich geschrieben: Die Epidemie hat kein Gedächtnis.

Damit war gemeint: Kehren wir (mit weitgehenden Lockerungen) zurück zur Normalität, so kehren wir zurück auf den Weg geradewegs zur Katastrophe, nur mit leichter Verzögerung.

Hier das an die in vorherigen Beitrag an die Daten angepasste SIR-Modell. Hier wurde für Tag 22 bis Tag 44 der R₀-Wert auf 0,9 gesetzt (beta=0,9/7), anschließend wieder auf 2,85 (beta=2,85/7).

Hier sieht man, dass sich durch die Reduktion von R₀ auf 0,9 von Tag 22 (23.03.2020) bis Tag 44 (14.04.2020) die Kurven nur entsprechend verschoben werden. Das heisst, kehren wir zur Normalität zurück (mit R nahe 3), dann kommt die Katastrophe (überlastete Krankenhäuser, Triage, Anstieg der Sterblichkeit auf 10 Prozent und mehr, als Kollateralschaden auch erhöhte Sterblichkeit auch bei „unbeteiligten“ Patienten) genauso wie vorher. Nur etwas später.

Aus diesem Grund warnen Virologen vor zu vielen Lockerungen, und (vielleicht noch wichtiger) dem damit einhergehenden Verlust an Hygiene- und Distanzierungsdisziplin.

Hier noch dieselben Daten dargestellt mit logarithmisch skalierter y-Achse.

Hier sieht man auch deutlich die Abnahme der Infektionen zwischen Tag 22 und Tag 44, also während der Zeit, in der im Modell R₀ auf 0,9 gesetzt wurde. Im Standardplot kann man das nicht erkennen, weil die Werte zu nahe an der x-Achse liegen.
Nach dem Ende der Phase mit R₀=0,9 geht die Kurve aber unmittelbar wieder in das exponentielle Wachstum über (R₀=2,85).
Die schwarzen Punkte sind wieder die Infektionsdaten aus Deutschland von NTV vom 01.03.2020 bis 21.03.2020, also die Phase des exponentiellen Wachstums, bevor die Hygienedisziplin und die Maßnahmen das Wachstum eingedämmt haben.

Hier werden wieder (nach diesem Modell) fast 30 Prozent der Bevölkerung gleichzeitig infiziert sein, mit den beschriebenen Konsequenzen.

Bemerkung: Anders als die Daten des Robert-Koch-Instituts im Dokument zur Schätzung von R0 (in der Retrospektive) Schätzung  diesem Dokument sind die Daten von NTV nicht um Diagnose und Meldeverzug korrigiert.

Es ist zwar zu erwarten, dass durch nun einstudierte Disziplin und Vorsicht die Wachstumsgeschwindigkeit niedriger bleibt als Anfang März, aber auch in diesem Fall kann das Wachstum zu schnell werden. Davor, dass die Situation wieder außer Kontrolle geraten könnte, warnte Christian Drosten (relativ zurückhaltend) schon vor einigen Tagen, das RKI hatte ebenfalls gewarnt. Nun eine erneute Warnung von Christian Drosten im ORF: Die aktuellen Lockerungen, die derzeit in vielen Ländern stattfinden, dürften auch aufgrund von Unsicherheiten und nicht intendierten Effekten entsprechende Folgen nach sich ziehen, und man müsse damit rechnen, dass die Infektionen wieder auf ein „nicht mehr erträgliches Maß“ steigen.

Inzwischen gibt es breite Warnungen durch Wissenschaftler, z.B. den Epidemiologen Timo Ulrichs (am 27.4.) oder Melanie Brinkmann (schon am 23.4.).

Das werden wir mithilfe des einfachen SIR-Modells in den kommenden Tage hier mal nachrechnen.

Bemerkung: Im SIR-Modell gibt es keine Inkubationszeit, so dass das SIR-Modell die Geschwindigkeit der Ausbreitung eher überschätzt, daher betrachten wir vielleicht ein leicht erweitertes Modell.

Bemerkung (27.4.2020): Die Deutsche Gesellschaft für Epidemiologie (DGEpi) hat heute ein Stellungnahme herausgegeben, in der sie unter Anderem auf Basis von SEIR-Simulationen schreibt, dass im Fall einer kompletten Rücknahme aller Maßnahmen (die allerdings aktuell niemand plant)  „schnell erneut ein exponentielles Wachstum eintreten“ würde.

Die DGEpi schreibt: „Es muss vielmehr eine Situation geschaffen werden, in der die Zahl der neu infizierten Personen soweit reduziert wird, dass die Nachverfolgung dieser Fälle und ihrer Kontakte und anschließende Quarantäne durch die Gesundheitsbehörden möglich wird.“

Sie empfiehlt eine „Containment„-Strategie, d.h. „eine wirkungsvolle und schnelle Nachverfolgung von Kontakten von Infizierten“ noch während „allgemeine kontaktreduzierende Maßnahmen gelten“ durch die Gesundheitsbehörden und, möglicherweise, eine App, sofern sie „Datensouveränität“ sicherstellt.

Allerdings, aktuell „scheint […] eine weitere Reduktion der Zahl der Neuinfizierten notwendig, um die Gesundheitsbehörden in die Lage zu versetzen, durch Nachverfolgung, Isolations- und Quarantänemaßnahmen die weitere Ausbreitung des Virus unter Kontrolle zu halten.“

Bemerkung (27.04.2020): Der heutige Lagebericht des RKI (Situationsbericht von 27.04.2020) enthält auf Seite 8 ein aktualisiertes Nowcasting und schätzt, dass R₀ bereits wieder auf den Wert 1,0 gestiegen ist. Die Anzahl der Neuinfektionen geht damit nicht mehr zurück.

Zusammenstellung von Parametern von SARS-CoV-2 (Achtung, diese Parameter sind keine Naturkonstanten):

Serial interval/Serielles Interval: ca. 4 Tage (z.B. hier aus chinesischen Daten);

Das RKI nimmt zur Berechnung von R₀ eine Generationenzeit von 4 Tagen an.

Als „Serielles Interval“ wird die Zeit zwischen Symptombeginn bei Person A und Symptombeginn bei einer angesteckten Person B bezeichnet. Als Generationenzeit die Zeit zwischen der Infektion von A und der Infektion von B. Diese beide Zahlen werden ähnlich oder fast gleich sein.

Basisreproduktionszahl R₀: Laut RKI zwischen 2,4 und 3,3

Rückwärtsschau zum zeitlichen Verlauf von R von Anfang März bis Anfang April 2020 in Deutschland (Berechnungen RKI, die angenommene Generationenzeit ist 4 Tage). Hier die Antwort des RKI zur einer oft gestellten Frage.

Inkubationszeit: im Median 5-6 Tage bei starker Spreizung

• Letalität: Laut RKI am 25.4.2020 in Deutschland 3,6 Prozent. Weitere Zahlen hat das RKI hier zusammengestellt. Die tatsächliche Letalität ist aufgrund der Dunkelziffer schwer zu bestimmen. Sie ist zudem stark altersabhängig.
  Frühe chinesische Zahlen lauteten (finde auf die Schnelle nur diese Sekundärquelle):
• 10-19 Jahre: 0,2 Prozent
• 20-29 Jahre: 0,2 Prozent
• 30-39 Jahre: 0,2 Prozent
• 40-49 Jahre: 0,4 Prozent
• 50-50 Jahre: 1,3 Prozent
• 60-69 Jahre: 3,6 Prozent
• 70-79 Jahre: 8 Prozent
• 80 Jahre: 14,8 Prozent

Bemerkung: Es gibt bisher wenig Daten zu Situationen ohne Dunkelziffer. Auf einem Flugzeugträger wurde die gesamte Besatzung von 4800 Besatzungsmitgliedern getestet und 580 Tests fielen positiv auf SARS-CoV-2 aus. Ein Besatzungsmitglied ist inzwischen an Covid-19 gestorben.